有人说直线是半径无穷大的圆,这个理论对吗?

答:在数学的某些场合中,这个说法是完全正确的,比如在射影几何当中,直线是半径无穷大的圆,以及平行线相交于无穷远处都是正确的描述,而射影几何属于欧式几何的一部分。


“直线是半径无穷大的圆”——这个描述表面上看起来似乎有些道理,但是总觉得哪不对,于是很多人首先会把这个说法当成错误的。

实际上,在射影几何当中,这个结论不仅是正确的,而且还变得相当重要,类似的描述还有“平行线相交于无穷远”。

在射影几何当中,有一个非常漂亮的原理——对偶原理,指在平面射影几何当中,我们把一个定理当中的对偶元素互换,相对应的性质也替换后,得到的命题依然成立;比如“点”和“直线”、“直线”和“平面”就是对偶元素。

而“过两点只能做一条直线”和“两条线只能交于一点”就属于对偶的两个定理,对偶原理非常强大,对于射影几何中的任何定理,利用对偶原理之后都可以得到一个全新的定理,比如1640年法国数学家发现了著名的六边形定理:

Pascal六边形定理:如果一个六边形内接于一条圆锥曲线,则该六边形的三对对边的交点共线。

然后在一百多年后的1806年,一位法国大学生布列安桑,发现了另外一个著名的六边形定理:

Brianchon六边形定理:如果一个六边形的六条边都和一条圆锥曲线相切,则该六边形的三对顶点的连线相交于一点。

如果我们不使用对偶原理,那么后一个六边形定理的证明将会变得十分复杂,一旦有了对偶原理,我们利用Pascal六边形定理得到后者只需要几分钟而已,这种数学原理之间的对称性相当美妙。

但是问题在于,我们在使用对偶原理时,必须接受“平行线相交于无穷远”这个描述,如果我们不承认这个描述,那么我们使用对偶原理时将会出现很多例外,一旦我们接受了这个描述,对偶原理将没有任何例外。

同样,关于“直线是半径无穷大的圆”,也是射影几何当中使用的正确描述,我们在使用对偶原理时也必须承认这个假设成立。

射影几何只是欧式平面几何的一部分,虽然对偶原理仅限于在射影几何中使用,但是对偶原理的思想在很多地方都有遇到,比如电磁学中的“电”和“磁”,电路分析当中的“并联”和“串联”、“电容”和“电抗”等等。


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这是很基本的数学概念,在绝大多数“几何”场合,都是对的。

这个概念在初中学平面几何时已经接触过了,当然对学过微积分和极限的人来说这是显而易见的。

罗巴切夫斯基在最早通过构造“非欧几何”来证明欧几里得第五公设确实是公理而非定理时,构造了一个用传统欧氏几何改造的几何空间,符合欧几里得的前4条公设但不符合第五公设(平行公理),罗巴切夫斯基证明了该几何空间是自洽的,从而证明了第五公设对于欧几里得几何是不可或缺,也不可被其他公理所推导出来的。

罗巴切夫斯基所构造的这个空间里,就把直线和圆(严格的说是射线和半圆)完全统一起来了。

直线就是圆心在无穷远点的圆,这一概念的确是被数学普遍采用的。从解析几何的角度看,直线方程本身就等价于圆方程的一种极限形式。

这个说法是错误的,直线不是半径无穷大的圆,但是可以说,直径无穷大的圆和直线重合。

数学中有一条公理:无穷小不是零!无穷小可以作为除数,但是零不行。无穷小有大小之分,有高阶无穷小和低阶无穷小,所有的零都是一样的。但是无穷小等于零,无限接近就是等于,正如0.999……=1。

无穷大也是一样的,有高阶无穷大和低阶无穷大,只是无穷小有零可以对比,无穷大还找不到对比的数。但在本质上,它们都是一样的,是一一对应的,任意数除以无穷小就是无穷大。

回到初始问题。圆就是圆,相当于无穷小;直线就是直线,相当于零。有直径普通无穷大的圆,有直径高阶无穷大的圆,这些圆是不一样的,所有的直线都是一样的。但是,所以直径无穷大的圆都可以和直线重合!因为无限接近就是等于。

道路工程有个缓和曲线,就是弯道,如果采用圆弧连接,在车速较快时,人就不舒服,要承受侧向惯性,或者叫横向失重。为了避免这情况,在直线和圆连接时,增加缓和曲线,同理,圆曲线与直线之间也有缓和曲线。转弯表达为:直行~半径无穷大的圆曲线~半径逐渐减小的缓和曲线~设定半径的圆弧曲线~半径逐渐增加到无穷大的缓和曲线~直行。可见,这是直线就是半径无穷大的圆,这一论点的实际应用。

直线是半径无穷大的圆,这一观点在射影几何学中是正确的。

当一个圆的半径无穷大,其周长也是无穷大,圆周上任意两点之间的弧无穷长,弧上任意一点的曲率都为0,就是说该圆弧无限接近于一条直线。而直线也无穷长,因此认为它们是等价的。同样,我们可以认为直线的曲率处处为0,它的曲率半径无穷大。

举个例子。我们的直觉告诉我们地面是平的,实际上当我们离地面足够远时,就会发现地面其实是弯曲的。如果地球的半径无穷大,不管你在哪个观察点,都只会发现地面是平的。

射影几何研究几何图形在射影变换下依然保持不变的图形性质。射影其实就是投影的意思,比如中心投影和平行投影,因此射影几何又被叫做投影几何。

所谓的射影变换就是利用中心投影或者平行投影将一个图形变换为另一个图形。在数学中大家最常见的有全等变换和相似变换,此外还有射影变换、仿射变换、拓扑变换等。

由于绘画和建筑学的需要,古希腊时期的学者就已经开始研究投影,并诞生了几何透视法。基于对中心投影的研究,在17世纪,射射影几何学正式建立,成为了几何学的一个分支。由于其研究范围狭窄,内容很有限。19世纪以后,随着群概念的引入,射影几何又充满了生机。

射影几何学中引入了无穷远点、无穷远直线、无穷远平面的概念。而射影几何学的奠基人是帕斯卡和笛沙格,画法几何创始人蒙日的学生彭赛列对射影几何的贡献也非常大。

在射影几何学中,因为引入了无穷的概念,直线被看作是半径无穷大的圆,而圆的切线被看作是割线的极限。平面几何中认为平行线永不相交,射影几何则认为平行线相交于无穷远点。基于该观点,就可以用中心投影来取代平行投影了。

如上图所示,实际上平行的铁轨在我们的视线下却是相交的。

而对偶原理是射影几何的基本原理,它将点和直线看作对偶元素,直线上取一点和过一点作一条直线被称之为对偶运算。前面说的是平面,在立体空间中点和平面则是对偶元素。在射影空间中,如果一个命题是正确的,其对偶命题也是正确的。文学中就有对偶的概念 。对偶的概念与对称的概念类似,就是说两个概念之间具有很强的关联性,如电和磁。

数学中经常研究变换下的不变性,比如在拓扑变换中,圆、三角形、正方形都是等价的。这些观点在现实世界中看着确实不合理,但在数学中却很有趣。

数学是最基本的科学工具,热爱科学的朋友,欢迎关注我。

这个问题在一定的程度上是对的。


例如我们在生活中看到的一条笔直的高速公路一直通向远方。但换个角度理解,这条高速路是建造在地球上的,它能是一条直线吗?当然不是,它其实是一条圆弧,是地球表面的一部分。公路当然是线段了,但与它重合的是直线。


视野在扩展到整个宇宙。同理,我们的宇宙也是一个有厚度的空心圆,整个宇宙都在这个夹层中。那么宇宙中的一条直线无限延伸最终会绕着宇宙一周成为一个圆环。而圆心就是宇宙泡的“圆心”,只是这条直线几乎是无穷大∞。

所以呢,这个问题一定程度上是对的。

这是伪命题,因为:①直线是1维空间范畴,圆是2维空间范畴,②无穷大操作是数学瑕疵。

事实上,我们根本无法找到或作出一个半径无穷大的圆。即便理论上成立,也毫无实用价值。不实用的理论,尚不如一个屁!

▲有人要搬出黎曼几何说事。还有希尔伯特公理与n维空间,我只说:高大上然并卵。

本题,突出的暴露了第二次数学危机依然阴魂不散。数学有必要认清自身的瑕疵:

凡涉及“无穷极限”或“绝对零”的,就必有荒谬,而ε-δ邻域理论是循环论证,然并卵。

数学起源于土地测量与商业统计。所有的测量与统计都是近似操作。事物是千差万别的。绝对零是虚无的。

事实上,主观的绝对零≡不存在≡无意义,主观的无穷大≡不存在≡无意义。

数学界理当——像规定“除数为零≡无意义”一样——增补以下几个公设:

①低阶或高阶无穷大≡不存在≡无意义,相对无穷大≡特别大≈∞。

②低阶或高阶无穷小≡不存在≡无意义,相对无穷小≡特别小≈1/∞。

③绝对零≡不存在≡无意义,相对零=测量基准零≈0,而且规定:有理数×0=有理数0,无理数×0=无理数0。复数×0=复数0。

数学思维的基本特征

数学思维的基本特征是:

把具体问题抽象化把绝对差异性抽象为相对全同性:把“△x≠0”逼近为“dx→0”。

其1:数学的各1是全同的,故1≡1或1+1=2,例如:1只鸡=1只鸭,1条虫+1朵花=2个生物。

但是:现实的各1是具体不同的,故1≠1或1+1≠2,例如:1个孕妇≠1个人,1个DNA+1个DNA≠2个DNA。

其2:真实的点dot≠0,是特小的体dot=dx3,特小的面dot=dx2,特短的线dot=dx。数学的点dot=(0),(0,0),(0,0,0),(0,0,0,0)。

物理思维的基本特征

物理思维的基本特征是:

把抽象问题具体化:把绝对运动性归因为相对差异性,即:把“v≠0”归因为“△x≠0”。

其1:物质都是运动的,这是物理抽象。然后我们开始做具体差异化分析:

实体运动与空间运动截然不同。实体总是走切向或弯曲运动,空间总是走径向或直线运动。

实体的运动是弯曲的,但不可用纯几何方法,以偏概全的说“空间的运动也是弯曲的”。

莘莘学子尤其注意:物理事件是复杂多变的,抽象不可任性,以偏概全是数学的陷阱。

其2:遥远的或者微小的单子都可以不考虑其大小或形变,看成一个质点,这是物理抽象。然后我们开始做具体差异化分析:

电子比质子半径大1880倍,伽玛光子半径比背景微波光子小到1.17cm÷0.39pm=300亿倍。

数学意义取决于物理意义

数学必须基于现实可能性,至少要有物理意义。凭空捏造的数学表达式是无意义的。

例如:量子力学的全同粒子论,把所有量子看成零维质点,其能密表达式:ρ=E/V=∞是无意义的。这是数学瑕疵对物理学的污染。

例如:黑洞辐射紫外灾难是牵强附会的说辞,就是因为过分用了并不存在的无穷大

根据经典统计力学,1905年推出瑞利-金斯定律:σ(f,T)df=8πf2/c3 kTdf,σ(f,T)为辐射能密,σ在f趋向无穷大时趋向无穷大,这与实验数据相违背。1911年奥地利物理学家埃伦费斯特用“紫外灾变”来形容经典理论的困境。

大家想想:本不存在无穷大频率(f),埃伦菲斯特借此贬损统计力学,显然是一种莫须有。

Stop here。物理新视野与您共商物理前沿与中英双语有关的疑难问题。

这种问题首先要看你从哪个方面来看,是欧式几何,还有黎曼几何,两者有很大的不同,但两者都是正确的,而且两者具有和谐性和独立性!

欧式几何,说白了就是我们平时生活中最能接受最容易理解的几何,在初中时我们学的几何就是欧式几何,比如两条平行线永远没有交点!

而黎曼几何并不这样认为,它并不承认平行线的存在,在同一平面内,任意两条直线都有交点,直线可以无限长,但总的长度是有限的!

是不是有点蒙?感觉黎曼几何与我们的传统认知格格不入?

只能这样解释,欧式几何在不大不小不远不近的环境里是更加使用的,这也正是我们生活的环境,而在地球表面研究航空航海时要用黎曼几何,在研究宇宙空间原子核内部时用罗氏几何!

黎曼几何是微积几何的基础,在爱因斯坦的广义相对论中有重要的应用。

所以再回到问题中,直线是半径无穷大的圆吗?是,也不是,看你如何理解!

同时,我们也要明白,数学概念与物理概念并不是等同的,数学只是一种工具,而物理反应的才是现实!所以纯数学概念上,我更偏向于直线就是半径无穷大的圆,用微积分的方式比较好理解,说白了,道理更等同于是你是否认同0.999……(无限循环下去)就等于1,而不是小于1!

如今恐怕初中生都知道0.999……等于1,如果你认为小于1就完全没必要再解释了!

有些事,理论可行实践却不行。

这个说法有一定道理。直线是没有弧度,也不弯曲的没有终点也没有起点的线。真正的直线是不存在的。因为现在科学推测,宇宙是有起点和边界的,这就是说,宇宙中的所谓直线,只不过是超长的线段。

正确的答案是:直线是最直,相对弯度最小的曲线。宇宙都不是直的,宇宙中的直线也不会存在。直线只是一个概念,只是我们的意识中的一种存在。宇宙中根本就没有直线。

地球是圆的,你在一个圆型的物体上怎么画出直线。宇宙中的万物都是由物质构成的,物质是有质量的,直线从理论上讲也有质量,有质量就存在万有引力,万有引力直线就会发生弯曲。弯曲的线都符合某一特定的圆。

因此,直线不是半径无穷大的圆,而是仪器测不出来的曲线。

也就是说,曲线是绝对的,直线是相对的。

首先,什么是无穷要弄清楚,不然涉及无穷的所有问题都弄不明白。从数或量来说,无穷就是不断增加的态势,是永远不断变动不止的!回到本题,答案显然是否定的。正确表述为:无穷大的半径(或直径)的圆趋于直线。

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